2012年3月20日 星期二

利用一根棍子 & Google Earth 測量地球周長

2200 多年前 (西元前 3 世紀),希臘學者埃拉托塞尼斯祇利用一個日晷儀、幾項假說、一個測量值,就測量出地球的周長。他的這個實驗需求不高,我們手上雖然沒有日晷儀,但祇要準備棍子一根 & 裝有 Google Earth 的電腦一台,就能重覆這個實驗。

埃拉托塞尼斯的實驗方法

埃拉托塞尼斯知道在夏至當天 (北半球的夏至是 6/21) 中午 12 點太陽會直射北迴歸線,此時位在北迴歸線上的物體幾乎不產生陰影,而在北迴歸線以外的地區則仍然會有陰影產生。


圖、北半球夏至當日北回歸線地區無影子

以臺灣來做例子好了,我們臺灣也剛好有北迴歸線通過 (在嘉義水上 & 花蓮等地都有北迴歸線紀念館,然而這些紀念館可能不在北迴歸線上),因此夏至當天中午嘉義地區的影子將會極小。

雖然當日嘉義地區不產生影子,但我所在的台中因為距離北迴歸線比較遠,因此當天中午還是會有影子出現。


圖、夏至當日北迴歸線以外地區仍有影子

夏至中午在台中立起一根桿子,長短不拘,將桿頂與影子頂端連接起來,我們就可以得到一個夾角 x。


圖、在台中可測得桿頂與陰影間的夾角 x

假設太陽是一個巨大光源,照射到地球的光線都是平行的,則這個夾角 x 會等於通過台中至地心及通過嘉義至地心的兩條直線夾角 y。


圖、通過兩平行線的一條直線所產生的內夾角相等

如果地球是一個正圓形,這個夾角 y 佔圓內角的比例就是 y/360。而圓的弧長與角度是相關的,台中至北迴歸線的直線距離:地球周長 = y:360。兩地的距離可以事先測得,夏至當日中午藉由實驗測得夾角 x,馬上就可以得到地球的周長。


圖、夏至當日兩地距離佔地球周長比例等於陰影夾角與圓內角比例

僅僅利用這麼簡單的數學原理 & 器材,在 2200 多年以前埃拉托塞尼斯就能藉由已知的兩地距離 & 影子與桿子夾角求得地球的周長,這個實驗實在是太棒了!而且因為實驗很簡易,國中生很容易在學校進行實驗。

利用 Google Earth 複製埃拉托塞尼斯的實驗

問題來了,我們可以測得到夾角 y 的值,但是我們怎麼去量度台中至北迴歸線的直線距離呢?

買一張臺灣地圖,用直尺量一下兩地在地圖上的距離,再換算一下比例,就可以得到台中與北迴歸線的遠近。不過現在我們不需要特地去買地圖,祇要上網下載 Google Earth 安裝,也可以得到測得兩地的距離。

在 Google Earth 中叫出經緯度資料,再利用尺規功能量度我們所在位置與北迴歸線的距離 (先點一下自己所在的地區,再點一下北迴歸線,Google Earth 就會在兩地之間畫出一條直線,並顯示兩地間的距離),比方說我服務的向上國中操場正中央到北迴歸線共 76.84 公里。


圖、利用 Google Earth 測得向上國中至北迴歸線距離

利用事先測得的兩地距離,夏至當日再測得桿子與陰影的夾角,國中生也可以推論出地球的周長,這麼簡易就能讓學生探知自然奧秘,這真是一個很棒的實驗啊。:)

給學生的思考問題

  1. 你們測量出來的地球周長是多長?
  2. 請上網找一下地球實際的周長長度是多少?
  3. 你們測量出來的長度與地球實際周長差異有多少?你認為你的實驗可能在哪些部份發生誤差?為什麼?
  4. 這個實驗利用了哪些假設?
  5. 這個實驗利用的假設會怎麼樣造成誤差?為什麼?

附註:

  • 24 節氣,如夏至,是以太陽在黃道面上的位置為基準訂定的。本來我想說『驚蟄、穀雨、芒種、霜降』這樣的節氣名稱與農業很有關係,應該是以農曆為基準吧?還自信滿滿的跟同事打賭。結果,我輸了。24 節氣完完全全是依照陽曆訂定的,跟農曆一點關係也沒有。
  • 經過 haklim & memes 兩位老師指正,農曆是陰陽合曆。所以,雖然 24 節氣是以太陽在黃道面上的角度訂定,0 度時是春分,之後每 15 度一個節氣,但與農曆還是有關係,因為農曆是陰陽合曆,除了參照月亮圓缺之外,也參照了太陽的位置訂定部份曆則。

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